Primitiva Funktioner

Man kan tänka sig primitiva funktioner som baklängesderivata eller antiderivata. Det du gör är helt enkelt att du går från en given derivata till funktionens formel.

Man brukar beteckna den primitiva funktionen med F(x) då funktionen beskrivs som f(x) eller Y då funktionen beskrivs med y.

Några exempel på vanliga primitiva funktioner

$f(x) = ax^b $ ger primitiv funktion $ F(x) = \frac{ax{b+1}}{ b+1} + C $
EX: $ f(x) = 2x^3 $ ger primitiv funktion $ F(x) = \frac{2x^{4}}{4} + C $

$ f(x) = sinx $ ger primitiv funktion $ F(x) = -cosx + C $
EX: $ f(x) = 3sinx $ ger primitiv funktion $ F(x) = -3cosx + C $

$ f(x) = e^x $ ger primitiv funktion $ F(x) = e^x + C $
EX: $ f(x) = 10e^x $ ger primitiv funktion $ F(x) = 10e^x + C $

När du tar fram den primitiva funktionen är det viktigt att först? att du alltid för en konstant med i resultatet. Detta beror på att det kan finnas med en sådan i funktionen och när denna deriveras så blir resultatet 0. D.v.s derivatan av en konstant är noll.

Primitiva funktioner med villkor

När man har ett villkor för en funktion så kan du även lösa ut värdet för konstanten till den primitiva funktionen. Ett exempel på detta kan vara

EX: Ta fram den primitiva funktionen till $ f(x) = 3x^2 $ då F(0) = 1
Primitiv funktion blir då $ F(x) = x^3 + C $ Vi använder villkoret för att lösa ut C:
$ 1 = 0^3 + C \Leftrightarrow C = 1 $
Den primitiva funktionen blir $ F(x) = x^3 + 1 $

Användningsområden för primitiva funktioner

Primitiva funktioner kommer till användning framförallt inom lösning av integraler där en del av lösningsmetoden i integralkalkylens fundamentalsats innehåller att man söker den primitiva funktionen. Primitiva funktioner används också för att lösa differentialekvationer, d.v.s. ekvationer som innehåller en eller flera derivator och där man söker själva funktionen.